基于幂次变换的自适应超声医学图像去噪算法
引言
超声医学因其具有对人体无损害、成本低、使用方便、能够实时显示器官等众多优点而成为一种重要的辅助诊断方法[1-4]。超声医学图像由于成像原理所致，在成像过程中产生斑点噪声，斑点噪声在一定程度上制约了超声图像的诊断效果[5-6]。为了改善超声医学图像的质量，近年来，出现了去除斑点噪声的方法。例如：基于频域的滤波及基于空间域的滤波，这两类方法要么完全在频域进行处理，要么完全在空间域进行处理，不能同时兼顾空间特性和频域特性。小波变换作为一种高效的时频域信号分析工具，克服了上面两种方法的限制。首先，Guo等[7]第一次提出了基于小波的噪声抑制方法，接着Donoho等[8]提出了软阈值算法对一维信号进行除噪。之后有各种小波去噪方法的提出[9-14]，大都是围绕阈值的选取及小波系数的去留问题做出相关处理，最后再进行软阈值或硬阈值修改小波系数。软阈值方法得到地小波系数连续性好，但是由于小波系数的减小，易引起边界模糊。硬阈值算法可以较好地保留图像边缘等局部特征，但得到地小波系数连续性差，可能引起重构信号的振荡，使图像出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真（产生伪像），在医学诊断中这是不允许的，因此寻求一种更好地保留小波系数连续性并使小波系数尽可能地接近原系数是有必要地。
综上所述，本文提出了一种基于幂次变换的阈值去噪算法，该算法主要是对大于阈值的小波系数进行幂次变换，使处理后的小波系数尽可能地接近原始小波系数，这样更好地保留了图像的细节信息，减小了去噪引起的误差。
1 方法
1.1 去噪思想
小波去噪方法的高效性主要得益小波变换系数的集中性。在小波域中，对应边缘的高频分量的能量集中在少数小波系数上，而噪声一般能量比较分散，因此，在小波域中可以从幅度上将信号的小波系数同噪声的小波系数分开：噪声主要为绝对值较小的小波系数，高频信号主要为绝对值较大的小波系数，因此，可通过选定阈值来区分信号和噪声。
1.2 幂次变换算法
在进行本文算法的推导之前，首先，要理解软阈值及线性小波去噪模型，具体模型如a与b所示。
a. 软阈值算法(Soft Threshold Algorithm，STA)函数公式表示为：
式(1)中，δ各层对应的阈值，W表示带噪声的小波系数，Ws表示阈值处理后的小波系数，下同。
b. 线性加权算法(The Linear Weighted Algorithm，LWA)模型 [15-17]：
式(2)中，Wl表示阈值处理后的小波系数，Wmax为各层小波系数绝对值的最大值，下同。
通过公式可以看出，式(2)是对软阈值算法进行了线性加权，使小波系数一定程度上接近了原系数，但小波系数越小与原小波系数的差值越大，为此寻求一种非线性增大小波系数的方法是有必要的，通过各种数学函数性质可知，幂次变换算法（Power Transform Algorithm，PTA）具有这种优势。幂次函数的基本形式为：
因本文研究的小波系数绝对值全为大于等于0的值，所以我们只考虑γ为正常数的情况，γ＞0是幂次函数具有如下性质：① 性质1：它的图像点都过（0,0）和（1,1）点；② 性质 2 ：在 x∈ [0,∞ )时，幂次函数单调递增。
图1 幂次变换
由图1可看出，1＞γ＞0时，正满足了阈值处理后小波系数越小增大幅度越大的要求，这说明幂次变换适合修改小波系数。由幂次变换的性质1知，在x∈[0 1]内，x=0时，s=0，x=1，s=1，这一性质可以方便地确定变换后的最大值与最小值。为了能够将幂次变换用于修改小波系数，应当将小波系数的绝对值变为[0 1]范围内，即：
其中
由式(5)知，W1∈[0 1]，这样，便可将幂次变换引入到小波变换中，同时，还要满足在W1=1时，W2=1+δ/(Wmax-δ)，为此，假设变换后的小波系数为：
式中，γ值对小波去噪的效果至关重要，小波系数经过幂次变换后，不能超过去噪前小波系数的值，不然会增加去噪后图像的误差。为此，幂次变换应满足以下条件，
对W3及W4进行一次及二次求导有：
由 c＞0,1＞γ＞0，(γ-1)＜0，是逐渐减小的，因此只有一个交点时应有
≥1（因为横坐标纵坐标均为小波系数），有γ≥(Wmax-δ)/Wmax。由c＞0，1＞γ＞0，(γ-1)＜0，W1γ-2＞0知
，且交点在W1=1，所以应为拐点，此时
将(9)式代入，得
将c、γ代入（1）式，由a 得最终处理后的小波系数为：
本文算法的具体过程如下：① 对噪声图像进行对数变换，使斑点噪声变为加性噪声；② 对对数图像进行二次小波分解；③ 对高频小波系数按照式(15)进行处理；④ 对处理后的小波系数进行小波逆变换和指数变换得到去噪后的图像，各种算法原理比较与见图2。
图2 各种算法原理比较图
注：a. STA；b. LWA；c. PTA。横坐标为原小波系数，纵坐标为处理后的小波系数。
2 实验仿真及讨论
实验仿真在Matlab7.0环境下编程实现，为证明本文算法的有效性，本文以均方根误差及边缘保留评价系数为评价标准，其中均方根误差定义为：
式中，fi表示原图像像素值，
为去噪后图像的像素值。N表示图像的像素点的总个数，下同。
边缘保留评价参数e定义为：
图3 噪声方差为0.01时各种算法处理的结果
注：a. 膀胱肿瘤图像；b. STA；c. LWA；d. PTA。
图4 噪声方差为0.01时各种算法处理后的高频系数图像
注：a. 膀胱肿瘤原图像；b. STA；c. LWA；d. PTA。
由图3、图4可知，噪声方差为0.01时，PTA处理后的高频系数保留最好，LWA算法次之。并且软阈值算法由于小波系数的减小，造成超声医学图像明显变暗，LWA算法虽然增大了小波系数，但小波系数越小其增加的幅度越小，高频边缘没有得到有效地恢复，PTA有效地增大了高频小波系数，使其更好地接近原小波系数值，视觉效果最好。分别对采集自PHILIPS IE33彩超机，S5-1探头所得五幅不同的心脏图像添加不同方差的斑点噪声后，运用软阈值算法、线性加权阈值算法和本文算法处理的结果比较，如表1、表2所示。
分别对采集自MIDRAY彩超机，C5-2探头所得五幅不同腹部图像添加不同方差的斑点噪声后，运用软阈值算法、线性加权阈值算法和本文算法处理的结果比较，如表3、表4所示。
表1 各种算法处理后的均方根误差
心脏 噪声方差 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125心脏1 PTA 0.0110 0.0128 0.0145 0.0159 0.0178 LWA 0.0117 0.0131 0.0145 0.0156 0.0172 STA 0.0121 0.0134 0.0146 0.0156 0.0170心脏2 PTA 0.0108 0.0127 0.0144 0.0157 0.0175 LWA 0.0115 0.0130 0.0144 0.0155 0.0169 STA 0.0119 0.0133 0.0145 0.0155 0.0167心脏3 PTA 0.0112 0.0131 0.0149 0.0168 0.0183 LWA 0.0119 0.0135 0.0149 0.0164 0.0177 STA 0.0124 0.0138 0.0151 0.0164 0.0175心脏4 PTA 0.0100 0.0117 0.0135 0.0147 0.0161 LWA 0.0106 0.0120 0.0135 0.0145 0.0156 STA 0.0110 0.0122 0.0136 0.0145 0.0155心脏5 PTA 0.0110 0.0130 0.0145 0.0161 0.0179 LWA 0.0117 0.0133 0.0145 0.0158 0.0172 STA 0.0121 0.0136 0.0146 0.0157 0.0169
表2 各种算法处理后的边缘保留评价系数
心脏 噪声方差 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125心脏1 PTA 0.9628 0.9531 0.9443 0.9357 0.9255 LWA 0.9582 0.9498 0.9424 0.9352 0.9265 STA 0.9557 0.9482 0.9410 0.9344 0.9267心脏2 PTA 0.9676 0.9587 0.9501 0.9433 0.9346 LWA 0.9632 0.9550 0.9480 0.9416 0.9347 STA 0.9606 0.9526 0.9460 0.9400 0.9334心脏3 PTA 0.9674 0.9586 0.9497 0.9400 0.9320 LWA 0.9629 0.9550 0.9474 0.9389 0.9318 STA 0.9601 0.9524 0.9455 0.9376 0.9313心脏4 PTA 0.9687 0.9612 0.9511 0.9443 0.9373 LWA 0.9646 0.9580 0.9489 0.9430 0.9366 STA 0.9622 0.9559 0.9473 0.9417 0.9373心脏5 PTA 0.9625 0.9522 0.9433 0.9339 0.9238 LWA 0.9581 0.9490 0.9415 0.9336 0.9257 STA 0.9560 0.9475 0.9406 0.9332 0.9265
表3 各种算法处理后的均方根误差
腹部 噪声方差 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125腹部1 PTA 0.0171 0.0191 0.0213 0.0228 0.0244 LWA 0.0183 0.0200 0.0218 0.0228 0.0242 STA 0.0191 0.0207 0.0224 0.0232 0.0245腹部2 PTA 0.0164 0.0179 0.0195 0.0206 0.0219 LWA 0.0174 0.0187 0.0199 0.0208 0.0217 STA 0.0180 0.0192 0.0203 0.0210 0.0219腹部3 PTA 0.0164 0.0181 0.0197 0.0210 0.0224 LWA 0.0173 0.0188 0.0201 0.0212 0.0223 STA 0.0179 0.0192 0.0205 0.0215 0.0225腹部4 PTA 0.0124 0.0137 0.0148 0.0162 0.0171 LWA 0.0130 0.0141 0.0152 0.0163 0.0171 STA 0.0134 0.0144 0.0154 0.0165 0.0172腹部5 PTA 0.0142 0.0158 0.0172 0.0185 0.0199 LWA 0.0152 0.0166 0.0178 0.0189 0.0202 STA 0.0159 0.0172 0.0183 0.0193 0.0205
表4 各种算法处理后的边缘保留评价系数
腹部 噪声方差 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125腹部1 PTA 0.9406 0.9310 0.9199 0.9119 0.9030 LWA 0.9345 0.9260 0.9165 0.9105 0.9027 STA 0.9323 0.9240 0.9149 0.9100 0.9027腹部2 PTA 0.9005 0.8872 0.8733 0.8637 0.8540 LWA 0.8911 0.8792 0.8675 0.8601 0.8526 STA 0.8892 0.8776 0.8666 0.8602 0.8539腹部3 PTA 0.9200 0.9078 0.8971 0.8863 0.8767 LWA 0.9129 0.9019 0.8924 0.8831 0.8755 STA 0.9115 0.9008 0.8916 0.8827 0.8753腹部4 PTA 0.9395 0.9289 0.9206 0.9095 0.9017 LWA 0.9345 0.9253 0.9173 0.9073 0.9000 STA 0.9331 0.9242 0.9160 0.9066 0.8994 PTA 0.9610 0.9543 0.9483 0.9429 0.9366 LWA 0.9568 0.9506 0.9452 0.9407 0.9348 STA 0.9552 0.9492 0.9441 0.9397 0.9342腹部5
通过分析表1、表3可知，噪声越小，PTA算法处理后的均方根误差越小，LWA算法次之，STA算法均方根误差最大，但随着噪声的增大，PTA算法均方根误差变化最快，LWA次之，STA算法变化最慢，噪声增加到一定程度后，STA算法处理后的均方根误差最小。造成这种现象的原因可以通过小波去噪思想加以解释，小波去噪是通过小波系数的大小来区分噪声和信号的，即大于阈值的小波系数为信号信息，小于阈值的小波系数为噪声，然而，高频细节信息和噪声的小波系数没有绝对的分界线，高频细节信息越小与噪声越难区分。在这里本文选用的统一阈值算法，认为大于阈值的小波系数为有用信号，小于阈值的小波系数为噪声。理论上，通过本文算法，处理后的图像更接近与原图像，但事实上，在统一阈值算法中，大于阈值的小波系数中包含有噪声小波系数，随着噪声的增大，保留的小波系数中噪声增加，通过PTA算法改变小波系数的同时，增大了噪声，噪声均方根误差的增大。通过分析表2、表4，可知，PTA算法高频细节信息保留最好，LWA算法次之，STA算法最少。
3 结论
本文提出了一种基于幂次变换的自适应超声医学图像去噪算法。该算法成功地将幂次变换引入到小波阈值去噪中，并对幂次变换的系数c、γ求解进行了推导，成功地实现了幂次变换的自适应去噪算法。理论上，从该算法的推导可以看出，本文算法处理后的小波系数更接近于原小波系数的值，优于软阈值算法及线性加权算法，但由于高频细节信号和噪声没有绝对的分界线，选用统一阈值算法在保留的小波系数中含有一定的噪声，随着噪声方差的增加，保留的小波系数中噪声含量会相应地增加，在增大小波系数的同时也增大了噪声系数，一定程度上增加了均方根误差。通过上述讨论可知，在噪声方差较小时，保留的小波系数中噪声系数较少，本文算法效果最好；高频细节信息越丰富，噪声越大，有用信号和噪声难以区分，造成过多的噪声信号得以保留，本文算法在增大有用信号的同时也增大了噪声系数，因而增加了均方根误差，本文算法去噪效果反而不如软阈值算法及线性加权算法。从边缘保留评系数来看，本文算法对边缘保留效果是最好的。
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A Self-Adaptive De-Noising Algorithm of Medical Ultrasound Image Based on Power Transformation